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|000010e0| 20 74 68 65 20 65 6e 64 | 70 6f 69 6e 74 73 20 77 | the end|points w|
|000010f0| 69 6e 20 6f 75 74 2c 20 | 73 65 65 20 46 69 67 75 |in out, |see Figu|
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|000012b0| 20 20 41 20 6e 69 63 65 | 20 77 61 79 20 74 6f 20 |  A nice| way to |
|000012c0| 64 69 73 70 6c 61 79 20 | 74 68 65 20 69 6e 63 72 |display |the incr|
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|000012f0| 6f 20 6d 61 6b 65 20 61 | 20 74 61 62 6c 65 20 69 |o make a| table i|
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|00001310| 6e 20 69 6e 20 70 72 6f | 62 6c 65 6d 20 33 2e 20 |n in pro|blem 3. |
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|00001c40| 72 76 65 20 68 61 73 20 | 68 6f 72 69 7a 6f 6e 74 |rve has |horizont|
|00001c50| 61 6c 20 74 61 6e 67 65 | 6e 74 73 20 61 74 20 74 |al tange|nts at t|
|00001c60| 68 65 73 65 20 70 6f 69 | 6e 74 73 20 61 73 20 61 |hese poi|nts as a|
|00001c70| 20 60 60 67 6f 6f 64 27 | 27 20 66 75 6e 63 74 69 | ``good'|' functi|
|00001c80| 6f 6e 20 73 68 6f 75 6c | 64 2e 20 20 4f 6e 20 5b |on shoul|d.  On [|
|00001c90| 3c 49 3e 61 3c 2f 49 3e | 2c 20 30 5d 20 74 68 65 |<I>a</I>|, 0] the|
|00001ca0| 20 64 61 72 6b 20 63 75 | 72 76 65 20 69 73 20 70 | dark cu|rve is p|
|00001cb0| 6f 73 69 74 69 76 65 20 | 61 6e 64 20 68 65 72 65 |ositive |and here|
|00001cc0| 2c 20 74 68 65 20 6c 69 | 67 68 74 20 63 75 72 76 |, the li|ght curv|
|00001cd0| 65 20 69 73 20 69 6e 63 | 72 65 61 73 69 6e 67 20 |e is inc|reasing |
|00001ce0| 61 73 20 61 20 60 60 67 | 6f 6f 64 27 27 20 66 75 |as a ``g|ood'' fu|
|00001cf0| 6e 63 74 69 6f 6e 20 73 | 68 6f 75 6c 64 2e 20 20 |nction s|hould.  |
|00001d00| 4f 6e 20 5b 30 2c 20 3c | 49 3e 64 3c 2f 49 3e 5d |On [0, <|I>d</I>]|
|00001d10| 2c 20 74 68 65 20 64 61 | 72 6b 20 63 75 72 76 65 |, the da|rk curve|
|00001d20| 20 69 73 20 6e 65 67 61 | 74 69 76 65 20 61 6e 64 | is nega|tive and|
|00001d30| 2c 20 73 75 72 65 20 65 | 6e 6f 75 67 68 2c 20 74 |, sure e|nough, t|
|00001d40| 68 65 20 6c 69 67 68 74 | 20 6f 6e 65 20 69 73 20 |he light| one is |
|00001d50| 64 65 63 72 65 61 73 69 | 6e 67 2e 20 20 46 69 6e |decreasi|ng.  Fin|
|00001d60| 61 6c 6c 79 2c 20 6f 6e | 20 5b 3c 49 3e 64 3c 2f |ally, on| [<I>d</|
|00001d70| 49 3e 2c 20 3c 49 3e 66 | 3c 2f 49 3e 5d 2c 20 74 |I>, <I>f|</I>], t|
|00001d80| 68 65 20 64 61 72 6b 20 | 63 75 72 76 65 20 69 73 |he dark |curve is|
|00001d90| 20 70 6f 73 69 74 69 76 | 65 20 61 6e 64 20 74 68 | positiv|e and th|
|00001da0| 65 20 6c 69 67 68 74 20 | 66 75 6e 63 74 69 6f 6e |e light |function|
|00001db0| 20 63 75 72 76 65 20 69 | 6e 63 72 65 61 73 65 73 | curve i|ncreases|
|00001dc0| 20 61 67 61 69 6e 2e 20 | 20 20 4f 70 65 6e 20 61 | again. |  Open a|
|00001dd0| 6e 64 20 73 68 75 74 20 | 63 61 73 65 3a 20 74 68 |nd shut |case: th|
|00001de0| 65 20 64 61 72 6b 20 63 | 75 72 76 65 20 69 73 20 |e dark c|urve is |
|00001df0| 74 68 65 20 64 65 72 69 | 76 61 74 69 76 65 20 6f |the deri|vative o|
|00001e00| 66 20 74 68 65 20 6c 69 | 67 68 74 20 63 75 72 76 |f the li|ght curv|
|00001e10| 65 2e 0a 0a 3c 50 3e 0a | 0a 3c 44 49 56 20 63 6c |e...<P>.|.<DIV cl|
|00001e20| 61 73 73 3d 22 43 45 4e | 54 45 52 22 3e 3c 41 20 |ass="CEN|TER"><A |
|00001e30| 49 44 3d 22 34 36 22 3e | 3c 2f 41 3e 0a 3c 54 41 |ID="46">|</A>.<TA|
|00001e40| 42 4c 45 3e 0a 3c 43 41 | 50 54 49 4f 4e 20 63 6c |BLE>.<CA|PTION cl|
|00001e50| 61 73 73 3d 22 42 4f 54 | 54 4f 4d 22 3e 3c 53 54 |ass="BOT|TOM"><ST|
|00001e60| 52 4f 4e 47 3e 46 69 67 | 75 72 65 3a 3c 2f 53 54 |RONG>Fig|ure:</ST|
|00001e70| 52 4f 4e 47 3e 0a 57 68 | 69 63 68 20 69 73 20 74 |RONG>.Wh|ich is t|
|00001e80| 68 65 20 64 65 72 69 76 | 61 74 69 76 65 3f 3c 2f |he deriv|ative?</|
|00001e90| 43 41 50 54 49 4f 4e 3e | 0a 3c 54 52 3e 3c 54 44 |CAPTION>|.<TR><TD|
|00001ea0| 3e 3c 49 4d 47 0a 20 53 | 54 59 4c 45 3d 22 68 65 |><IMG. S|TYLE="he|
|00001eb0| 69 67 68 74 3a 20 33 31 | 34 2e 30 30 65 78 3b 20 |ight: 31|4.00ex; |
|00001ec0| 22 20 53 52 43 3d 22 69 | 6d 67 31 30 2e 70 6e 67 |" SRC="i|mg10.png|
|00001ed0| 22 0a 20 41 4c 54 3d 22 | 5c 62 65 67 69 6e 7b 66 |". ALT="|\begin{f|
|00001ee0| 69 67 75 72 65 7d 0a 5c | 65 70 73 66 79 73 69 7a |igure}.\|epsfysiz|
|00001ef0| 65 20 39 30 70 74 0a 5c | 63 65 6e 74 65 72 6c 69 |e 90pt.\|centerli|
|00001f00| 6e 65 7b 5c 65 70 73 66 | 66 69 6c 65 7b 61 6e 73 |ne{\epsf|file{ans|
|00001f10| 31 70 38 61 2e 65 70 73 | 7d 7d 0a 5c 65 6e 64 7b |1p8a.eps|}}.\end{|
|00001f20| 66 69 67 75 72 65 7d 22 | 3e 3c 2f 54 44 3e 3c 2f |figure}"|></TD></|
|00001f30| 54 52 3e 0a 3c 2f 54 41 | 42 4c 45 3e 0a 3c 2f 44 |TR>.</TA|BLE>.</D|
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|00001f50| 4c 49 3e 53 65 65 20 46 | 69 67 75 72 65 20 37 2e |LI>See F|igure 7.|
|00001f60| 20 20 20 54 68 65 20 7a | 65 72 6f 65 73 20 6f 66 |   The z|eroes of|
|00001f70| 20 74 68 65 20 64 61 72 | 6b 20 63 75 72 76 65 20 | the dar|k curve |
|00001f80| 61 74 20 3c 49 3e 62 3c | 2f 49 3e 2c 20 30 20 63 |at <I>b<|/I>, 0 c|
|00001f90| 6f 72 72 65 73 70 6f 6e | 64 20 74 6f 20 68 6f 72 |orrespon|d to hor|
|00001fa0| 69 7a 6f 6e 74 61 6c 20 | 74 61 6e 67 65 6e 74 73 |izontal |tangents|
|00001fb0| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 64 61 72 6b 20 63 75 72 | of the |dark cur|
|00001fc0| 76 65 2c 20 73 6f 20 69 | 74 20 6c 69 6b 65 6c 79 |ve, so i|t likely|
|00001fd0| 20 69 73 20 74 68 65 20 | 64 65 72 69 76 61 74 69 | is the |derivati|
|00001fe0| 76 65 20 63 75 72 76 65 | 2e 20 20 4c 65 74 27 73 |ve curve|.  Let's|
|00001ff0| 20 6d 61 6b 65 20 73 75 | 72 65 20 74 68 61 74 20 | make su|re that |
|00002000| 74 68 65 20 6f 74 68 65 | 72 20 65 76 69 64 65 6e |the othe|r eviden|
|00002010| 63 65 20 69 73 20 63 6f | 6e 73 69 73 74 65 6e 74 |ce is co|nsistent|
|00002020| 20 77 69 74 68 20 74 68 | 65 20 6c 69 67 68 74 20 | with th|e light |
|00002030| 63 75 72 76 65 20 62 65 | 69 6e 67 20 74 68 65 20 |curve be|ing the |
|00002040| 66 75 6e 63 74 69 6f 6e | 20 61 6e 64 20 74 68 65 |function| and the|
|00002050| 20 64 61 72 6b 20 6f 6e | 65 20 62 65 69 6e 67 20 | dark on|e being |
|00002060| 74 68 65 20 64 65 72 69 | 76 61 74 69 76 65 2e 20 |the deri|vative. |
|00002070| 20 54 68 65 20 64 61 72 | 6b 20 63 75 72 76 65 20 | The dar|k curve |
|00002080| 69 73 20 70 6f 73 69 74 | 69 76 65 20 69 6e 20 74 |is posit|ive in t|
|00002090| 68 65 20 69 6e 74 65 72 | 76 61 6c 73 20 3c 21 2d |he inter|vals <!-|
|000020a0| 2d 20 4d 41 54 48 0a 20 | 24 5b 61 2c 20 62 5d 2c |- MATH. |$[a, b],|
|000020b0| 20 5b 30 2c 20 65 5d 24 | 0a 20 2d 2d 3e 0a 5b 3c | [0, e]$|. -->.[<|
|000020c0| 49 3e 61 3c 2f 49 3e 2c | 20 3c 49 3e 62 3c 2f 49 |I>a</I>,| <I>b</I|
|000020d0| 3e 5d 2c 5b 30 2c 20 3c | 49 3e 65 3c 2f 49 3e 5d |>],[0, <|I>e</I>]|
|000020e0| 20 61 6e 64 2c 20 69 6e | 64 65 65 64 2c 20 74 68 | and, in|deed, th|
|000020f0| 65 20 6c 69 67 68 74 20 | 63 75 72 76 65 20 69 73 |e light |curve is|
|00002100| 20 69 6e 63 72 65 61 73 | 69 6e 67 20 69 6e 20 74 | increas|ing in t|
|00002110| 68 65 73 65 20 69 6e 74 | 65 72 76 61 6c 73 2e 20 |hese int|ervals. |
|00002120| 20 4c 69 6b 65 77 69 73 | 65 2c 20 20 74 68 65 20 | Likewis|e,  the |
|00002130| 64 61 72 6b 20 63 75 72 | 76 65 20 69 73 20 6e 65 |dark cur|ve is ne|
|00002140| 67 61 74 69 76 65 20 69 | 6e 20 5b 3c 49 3e 62 3c |gative i|n [<I>b<|
|00002150| 2f 49 3e 2c 20 30 5d 20 | 61 6e 64 2c 20 69 6e 64 |/I>, 0] |and, ind|
|00002160| 65 65 64 2c 20 74 68 65 | 20 6c 69 67 68 74 20 63 |eed, the| light c|
|00002170| 75 72 76 65 20 69 73 20 | 64 65 63 72 65 61 73 69 |urve is |decreasi|
|00002180| 6e 67 20 69 6e 20 74 68 | 69 73 20 69 6e 74 65 72 |ng in th|is inter|
|00002190| 76 61 6c 2e 20 20 41 73 | 20 65 76 69 64 65 6e 63 |val.  As| evidenc|
|000021a0| 65 20 74 68 61 74 20 74 | 68 65 20 6c 69 67 68 74 |e that t|he light|
|000021b0| 20 63 75 72 76 65 20 63 | 61 6e 20 6e 6f 74 20 62 | curve c|an not b|
|000021c0| 65 20 74 68 65 20 64 65 | 72 69 76 61 74 69 76 65 |e the de|rivative|
|000021d0| 20 66 75 6e 63 74 69 6f | 6e 2c 20 77 65 20 63 61 | functio|n, we ca|
|000021e0| 6e 20 6e 6f 74 65 20 74 | 68 61 74 20 74 68 65 20 |n note t|hat the |
|000021f0| 6c 69 67 68 74 20 63 75 | 72 76 65 20 69 73 20 61 |light cu|rve is a|
|00002200| 6c 77 61 79 73 20 70 6f | 73 69 74 69 76 65 2c 20 |lways po|sitive, |
|00002210| 73 6f 20 69 74 73 20 66 | 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 |so its f|unction |
|00002220| 63 75 72 76 65 20 77 6f | 75 6c 64 20 68 61 76 65 |curve wo|uld have|
|00002230| 20 74 6f 20 61 6c 77 61 | 79 73 20 69 6e 63 72 65 | to alwa|ys incre|
|00002240| 61 73 65 26 6d 64 61 73 | 68 3b 68 6f 77 65 76 65 |ase&mdas|h;howeve|
|00002250| 72 2c 20 74 68 65 20 64 | 61 72 6b 20 63 75 72 76 |r, the d|ark curv|
|00002260| 65 20 69 73 20 69 6e 69 | 74 69 61 6c 6c 79 20 64 |e is ini|tially d|
|00002270| 65 63 72 65 61 73 69 6e | 67 26 6d 64 61 73 68 3b |ecreasin|g&mdash;|
|00002280| 63 61 73 65 20 63 6c 6f | 73 65 64 3a 20 74 68 65 |case clo|sed: the|
|00002290| 20 64 61 72 6b 20 63 75 | 72 76 65 20 69 73 20 74 | dark cu|rve is t|
|000022a0| 68 65 20 64 65 72 69 76 | 61 74 69 76 65 20 6f 66 |he deriv|ative of|
|000022b0| 20 74 68 65 20 6c 69 67 | 68 74 20 63 75 72 76 65 | the lig|ht curve|
|000022c0| 2e 0a 0a 3c 50 3e 0a 0a | 3c 44 49 56 20 63 6c 61 |...<P>..|<DIV cla|
|000022d0| 73 73 3d 22 43 45 4e 54 | 45 52 22 3e 3c 41 20 49 |ss="CENT|ER"><A I|
|000022e0| 44 3d 22 35 30 22 3e 3c | 2f 41 3e 0a 3c 54 41 42 |D="50"><|/A>.<TAB|
|000022f0| 4c 45 3e 0a 3c 43 41 50 | 54 49 4f 4e 20 63 6c 61 |LE>.<CAP|TION cla|
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|00002310| 4f 4e 47 3e 46 69 67 75 | 72 65 3a 3c 2f 53 54 52 |ONG>Figu|re:</STR|
|00002320| 4f 4e 47 3e 0a 57 68 69 | 63 68 20 69 73 20 74 68 |ONG>.Whi|ch is th|
|00002330| 65 20 64 65 72 69 76 61 | 74 69 76 65 3f 3c 2f 43 |e deriva|tive?</C|
|00002340| 41 50 54 49 4f 4e 3e 0a | 3c 54 52 3e 3c 54 44 3e |APTION>.|<TR><TD>|
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